最大视角问题与米勒定理

一、情境引入

生活中有很多有趣的问题,如足球比赛的最佳射门点问题,观赏名画的最佳视角问题等等,它们在数学上都可以归结为求最大张角的问题.请看如下问题:

问题年“阳江市第一中学八人制校友杯足球赛”在校球场举行,球场的长为60米,宽为40米,球门长为4米.有一名球员沿边线前行,准备射门,则在何处射门进球的可能性最大(即射门时视角大)?

该问题转化为数学问题,可建立相应数学模型:如图1,矩形的长EF=60,宽ED=40,球门长AB=4,若在点C处球员对球门的视角最大,求C的具体位置.

二、课本溯源

其实最大视角问题在课本中也有体现.例如,下述问题2出现在人教A版数学必修5第103页习题3.4 B组第2题,就是一个类似的问题.

问题2如图2,树顶A离地面am,树上另一点B离地面bm,在离地面cm的点C处看此树,离此树多远时看A，B的视角最大?

要解决这个最大视角问题,通过边角关系的分析,我们可以选择从解三角形入手.如图3,设AE=a,BE=b,CF=DE=c,CD=x.通过常规计算可见,若对?ABC直接用余弦定理,或在直角坐标系中利用余弦定理的向量形式求cos∠ACB的最值,由于cos∠ACB表达式的复杂性,想从函数的角度求最值是不可行的!调整思路,我们从两角差的正切入手解三角形.

解如图3,过点C作CD⊥AB于点D,则依题意可知AE=a,BE=b,CF=DE=c.设∠ACB=θ,CD=x,则从而

tanθ=tan(∠ACD-∠BCD)

当且仅当即时等号成立,相应的tanθ取得最大,此时视角最大.

反思以上解题思路都是侧重于从代数的视角解决问题,那么还有没有直接用几何结论来求最大视角的问题呢?

三、米勒定理

其实，求动点对定线段所张角的最大值,即视角的最大张角问题,是数学史上最早提出的几何极值问题,是1471年由德国数学家米勒提出.所以,最大视角问题一般称为“米勒问题”.

米勒问题已知点A,B是定角∠MON的边OM上的两个定点,点C是边ON上运动,则当点C在何处时,∠ACB最大?

对于米勒问题,我们有如下重要结论.

米勒定理已知点A,B是定角∠MON(锐角或直角)的边OM上的两个定点,点C是边ON上的动点,则当且仅当?ABC的外接圆与边ON相切于点C时,∠ACB最大.

证明当?ABC的外接圆与边ON相切于点C时,如图4,在点C的左侧取一点D,连结AD,BD, 设BD与ABC的外接圆交于点E,连结AE,由圆周角定理可得∠AEB=∠ACB.而∠AEB=∠ADE+∠DAE,即∠AEB>∠ADE;当点D取在C右侧时,同理可得∠AEB>∠ADE. 综上,当且仅当?ABC的外接圆与边ON相切于点C时,∠ACB最大.

评注在米勒定理中,当∠ACB最大时,由切割线定理，可得OC2=OA·OB,即

对问题2,用米勒定理可快速获解.假设点C处张角最大,则过C点作CD⊥AB于点D,则由米勒定理，可知CD2=DB·DA,即所求距离

四、应用举例

米勒问题在模拟题、高考题及竞赛题中常有体现,米勒定理有广泛的应用空间.例如,文首问题1若应用米勒定理探究,易知当时,射门的视角最大.再如

例1(1986年全国高考题)如图5,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴上给定两点A(0,a),B(0,b),试在x轴的正半轴上求一点C,使∠ACB取得最大值.

分析由题意知OA=a,OB=b.由米勒定理,当且仅当时,∠ACB最大,此时点C的坐标为

例2(2006年全国高中数学竞赛题)已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2,点P在直线上.当∠F1PF2取最大值时,的值为多少?

分析如图6,由米勒定理，可知当?PF1F2的外接圆与直线AB相切于点P时,∠F1PF2最大.因为直线l与x轴交于点由∠APF1=∠AF2P,易得APF1∽AF2P.于是又|AP|2=|AF1||AF2|,故

我们通过实际例子抽象出米勒定理,然后通过米勒定理模型来解决问题,可以大幅降低运算,得到准确结果.

弗赖登塔尔指出,数学来源于生活,也必须植根于生活.通过我们的探究可以发现数学可以越学越简单,越学越有趣,越学越能体会到数学的美.

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